Методы прогнозирования анализ временных рядов

Анализ временных рядов при прогнозировании перевозок.

Анализ временных рядов (АВР) – простейший метод восстановления зависимости в детерминированном случае, исходя из заданного временного ряда. Основная задача – экстраполяция (прогноз) – самый постой способ прогноза рыночной ситуации. Суть его – распространение тенденций, сложившихся в прошлом и будущем.

Многие рыночные процессы обладают инертностью, что учитывают при прогнозах. На определенный период следует максимально принимать во внимание вероятность изменения условий функционирования рынка. Делается предположение, что система эволюционирует в достаточно стабильных условиях. Чем система крупнее, тем вероятнее сохранение параметров без изменения, но не на большой срок. Рекомендуется, чтобы период прогноза не превышал 1/3 длительности исходной временной базы.

Временной ряд – серия числовых величин, полученных через регулярные промежутки времени Основное положение, на котором базируется использование временных рядов на предприятии – факторы, влияющие на отклик изучаемой системы, действующие в прошлом, настоящем и подобным образом будут действовать в недалеком будущем.

Цель анализа – оценка и выделение факторов с целью прогноза дальнейшего поведения системы и выработки рациональных УР. Прогноз на основе АВР – краткосрочный, в отношении периода, которого принимается, характеристики изучаемого явления существенно не изменяются. Большинство прогнозных ошибок связано с тем, что прогноз предполагает сохранение прошлых тенденций в будущем. Эта гипотеза редко оправдывается в экономической и общественной жизни.

ВР могут стать плохой основой для разработки прогноза, поэтому методы прогнозирования и АВР применяют для краткосрочного прогнозирования достаточно стабильных и хорошо изученных процессов. Прогнозируемый период не превышает 25-30% исходной временной базы. При использовании уравнения регрессии прогнозные расчеты проводят для оптимистических и пессимистических оценок исходных параметров. Отсюда получают 2 вида прогнозов: оптимистический и пессимистический. Прогнозную оценку, получаемую на основе методов прогнозирования, используют как индикатор желаемой величины прогнозного параметра.

ВР включает в себя:

1) тренд – показывает общий тип изменений, долгосрочного уменьшения и увеличения ряда,

2) сезонные колебания – колебания вокруг тренда, которые возникают на регулярной основе.

Обычно регулярные колебания возникают в период до года. Могут отслеживаться при ежеквартальных, ежемесячных, еженедельных и т.д. наблюдениях.

3) циклические колебания – возникают в периоды свыше года. Часто присутствуют в финансовых данных и связаны с резким спадом, бурным ростом и периодом застоя.

4) случайные колебания – непредсказуемые колебания в большинстве реальных ВР.

Требования к данным временного ряда

Все методы прогнозирования используют математическую статистику, поэтому необходимо, чтобы все данные были сопоставимы, достаточно представлены для проявления закономерности однородные и устойчивые. Невыполнение одного из этих требований делает бессмысленным применение математической статистики.

1. Сопоставимостьдостигается в результате одинакового подхода, к наблюдениям на разных этапах формирования временного ряда. Данные во временных рядах должны выражаться в одних и тех же единицах измерениях, иметь одинаковый шаг наблюдений, рассчитываться для одного и того же интервала времени по одной и той же методике, охватывать одни и те же элементы, принадлежащие одной территории и относящиеся к неизменной совокупности.

Несопоставимость данных чаще всего проявляется в стоимостных показателях. Даже в тех случаях когда значения этих показателей фиксируются в неизменных ценах. Такого рода несопоставимость временных рядов невозможно устранить чисто формальными методами.

2. Представительность данных характеризуется, прежде всего, полнотой представленных данных. Достаточное число наблюдений определяется в зависимости от цели проводимого исследования. Если целью является описательный статистический анализ, то в качестве изучаемого интервала времени можно выбрать любой интервал по своему усмотрению. Если же цель исследования — построение модели прогнозирования, то число данных исходного временного ряда должно не менее чем в 3 раза превышать период прогноза и не должно быть менее 7 данных. В случае использования квартальных или месячных данных для исследования сезонности и прогнозирования сезонных процессов, исходный временной ряд должен содержать квартальные либо месячные данные не менее чем за 4 года, даже если прогноз требуется на 1 или 2 месяца.

3.Однородность – отсутствие нетипичных аномальных наблюдений, а так же изломов тенденций (изменение). Аномальность приводит к смещению оценок и как следствие к искажению результатов анализа. Формально аномальность проявляется как сильный скачок или спад с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные стандартные критерии.

4. Устойчивость– это свойство отражает преобладание закономерности над случайностью в изменениях уровня и ряда. На графиках устойчивых временных рядов даже визуально прослеживается закономерность. А на графиках неустойчивых временных рядов – изменения представлены хаотично. Поэтому поиск закономерностей в таких временных рядах не имеет смысла.

Модели временных рядов

Статистические методы исследования исходят из предположения возможности представления значений временного ряда в виде комбинации нескольких компонентов, отражающих закономерность и случайность развития. В частности для краткосрочных прогнозов применяется аддитивная (адаптивная) и мультипликативная модели.

1. Адаптивная (аддитивная)

t — номер временного интервала

T(t) – тренд развития (долговременная тенденция)

S(t) – сезонная компонента

Е(t) – остаточная компонента

При односильном постоянстве амплитуды сезонной волны целесообразно использовать аддитивную модель. При изменении амплитуды сезонной волны соответствие с тенденцией среднего уровня используется мультипликативная модель. Иногда используются модели смешанного типа, они дают более точный результат, но содержательно плохо интерпретируются. Применение мультипликативной модели обусловлено тем что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Практика показывает что случаи, когда сезонные колебания исследуемого процесса велики и не очень стабильны, мультипликативная модель дает плохие результаты. Сезонная компонента характеризует устойчивые и внутригодичные колебания уровней – она проявляется в некоторых показателях представленных квартальными или месячными данными.

В моделях с аддитивной и мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинаковая.

1) расчет значений сезонной компоненты

2) вычитание сезонной компоненты из фактических значений – этот процесс называется десезонализации (устранение сезонности)

3) расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями

4) расчет среднего отклонения или средней квадратической ошибки

В прогнозировании также применяются модели кривых роста.

Кривые роста – математические функции предназначенные для аналитического выравнивания временного ряда.

Для описания кривых роста используются следующие функции

1. Прямая Y(t) = a+bt

2. Парабола Y(t) = a+bt =ct 2

3. Гипербола Y(t) = a +b/t

7. Кривая Джонсона

8. Модифицированная экспонента

Сглаживание временных рядов

Выявление основной тенденции развития называется выравниванием или сглаживание временного ряда. Методы выявления основной тенденции – это методы выравнивания.

Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления – это укрупнение интервала динамического ряда. Для выявления тенденций развития используется метод скользящего среднего или метод экспоненциального сглаживания. Оба метода субъективны в отношении выбора параметров сглаживания. И именно в корректном выборе параметров проявляется интуиция исследователя.

Метод скользящего среднего – крайне субъективен и на результаты сглаживания сильно влияет длина периода сглаживаний. При небольших периодах не удается выявить трендовую компоненту. При больших периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.

Скользящая средняя порядка L – это временной ряд состоящий из среднеарифметических и среднеарифметических L в соседних значениях функции Y по всем возможным значениям времени. В качестве L – нечетное число, 3, 5,7 — трехточечные, пятиточечные и семиточечные.

Трехточечная схема: среднее значение будет рассчитываться по 3м значениям Yi, одно из которых относится к прошлому периоду, второе к искомому и 3 к будущему периоду. При i = 1 не существует прошлого значение, то в первой точке невозможно рассчитать сглаженное значение. При i = 2 то среднее значение будет средним арифметическим.

В последней точке исходного интервала скользящее среднее также невозможно рассчитать из-за отсутствия будущего значения по отношению к рассчитываемому.

Метод экспоненциального сглаживания – в отличие от скользящего среднего может быть использован для краткосрочным прогнозов в будущей тенденции на один период вперед. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом перед предыдущим.

Алгоритм расчета сглаженных значений в любой точке ряда основан на 3х величинах: наблюдаемом значении Yi в данной точке, рассчитанном сглаженном значении для предшествующей точки ряда и некоторым заранее заданным коэффициентам сглаживания, постоянным по всему ряду.

Yi –фактическое значение итой точки ряда.

Сглаженное значение для предшествующей точки ряда — (альфа-1)

Альфа может принимать любые значения от 0 до1, но обычно на практике ограничиваются интервалом от 0,2 до 0.5

— L_t – сглаженная величина на текущий период;

— k – коэффициент сглаживания ряда;

— Y_t – текущие значение ряда (например, объём продаж);

— L_t-1 – сглаженная величина за предыдущий период;

— T_t-1 – значение тренда за предыдущий период.

Анализ временных рядов

Составляющие временного ряда

При анализе временного ряда выделяют три составляющие: тренд, сезонность и шум. Тренд — это общая тенденция, сезонность, как следует из названия — влияния периодичности (день недели, время года и т.д.) и, наконец, шум — это случайные факторы.

Что бы понять отличие этих трёх величин, смоделируем функцию расстояния от земли до луны. Известно, что в среднем луна каждый год отдаляется на 4 см — это тренд, в течение дня луна совершает оборот вокруг земли и расстояние колеблется от

405400 км — это сезонность. Шум — это «случайные» факторы, например, влияние других планет. Если мы изобразим сумму этих трёх графиков, то мы получим временной ряд — функцию, показывающую изменение расстояния от земли до луны во времени.

Тренд. Методы сглаживания

Методы сглаживания необходимы для удаления шума из временного ряда. Существуют различные способы сглаживания, основные — это метод скользящей средней и метод экспоненциального сглаживания.

Метод скользящей средней

Идея метода скользящего среднего заключается в смещении точки графика на среднее значение некоторого интервала. В качестве интервала берут нечётное количество участков, например, три — предыдущий, текущий и следующий периоды, находится среднее и принимается в качестве сглаженного значения:

У данного метода есть проблема: случайное высокое или низкое значение сильно влияют на скользящую линию. В качестве решения были введены веса. Для распределение веса используют оконные функции, основные оконные функции — это окно Дирихле (прямоугольная функция), В-сплайны, полиномы, синусоидальные и косинусоидальные:

Минусы использования скользящей средней — это сложность вычислений и некорректные данные на концах графика.

Как видно из графика, увеличение n выдаёт более плавную функцию, таким образом нивелируя более мелкие колебания во временном ряду. Обратите внимание, что при сглаживании не имеет значения, совпадает график среднего с графиком данных или нет, целью является построение правильной формы.

Метод экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания получил своё название потому, что в сглаженной функции экспоненциально убывает влияние предыдущего периода с неким коэффициентом чувствительности α. Сглаженное значение находится как разница между предыдущим действительным значением и рассчитанным значением:

Коэффициент чувствительности, α, выбирается между 0 и 1, в качестве базиса используют значение 0,3. Если есть достаточная выборка, то коэффициент подбирается путём оптимизации.

Методы прогнозирования

Методы прогнозирования основываются на выявлении тенденции во временном ряду и последующем использовании найденного значения для предсказания будущих значений. В методах прогнозирования выделяют тренд и сезонность, в общем случае, все типы сезонности могут быть найдены последовательными итерациями. Например, при анализе данных за год, можно выделить сезонность времени года, а в оставшемся тренде найти сезонность по дням недели и так далее.

Двойное экспоненциальное сглаживание

Двойное экспоненциальное сглаживание выдаёт сглаженное значение уровня и тенденции.

Smooth — сглаживание, сглаженный уровень на период τ, s_τ, зависит от значения уровня на текущий период (D_τ), тренда за предыдущий период (t_τ-1) и рассчитанного сглаженного значения на предыдущий период (s_τ-1):
s_τ = αD_τ + (1 — α)(s_τ-1 + t_τ-1) Trend — тенденция, тренд на период τ, t_τ, зависит от рассчитанного сглаженного значения за предыдущий и текущий периоды (s_τ и s_τ-1) и от предыдущей тенденции:
t_τ = β(s_τ-s_τ-1) + (1-β)t_τ-1 Рассчитанные по данным формулам уровень и тренд могут быть использованы в прогнозировании:
D’_τ+h = s_τ + h·t_τ

При расчёте, значения s и t для первого периода назначают s₁ = D₁ и t=0

Метод Хольт-Винтерса

Метод Хольт-Винтерса включает в себя сезонную составляющую, т.е. периодичность. Существуют две разновидности метода — мультипликативный и аддитивный. В отличие от двойного экспоненциального сглаживания, метод Хольт-Винтерса изучает также влияние периодичности.

Общая идея нахождения значений сглаженного уровня, тренда и периодичности заключается в следующем: сглаженный уровень (s — smooth, иногда используют l — level) — это базовый уровень значений, тренд (t — trend) — это показатель скорости роста, разница между сглаженными значениями текущего и предыдущего периода. Для изучения периодичности (p — period), мы разбиваем данные на периоды размером k и выделяем влияние каждого элемента (1,2. k) периода на сглаженный уровень.

Для более точных расчётов вводится показатель обратной связи. В общем понимании, обратная связь — это влияние предыдущих значений на новые: например, когда Вы начинаете говорить, Вы регулируете громкость своего голоса в зависимости от того, что слышат Ваши уши — это и есть обратная связь.

Для начала расчётов, значения s, t и k, в самом простом виде, могут быть выбираны как s_τ = D_τ, t = 0, p = 0.

Для прогнозирования используется следующая формула:

Мультипликативный метод Хольт-Винтерса

Мультипликативный метод отличается от аддитивного тем, что параметры, влияющие на периодичность и сглаженный уровень рассчитываются отношением:

Для прогнозирования используется следующая формула:

Метод Хольт-Винтерса в excel

Таблица для скачивания в форматах ods и xls.

Качество прогнозирования

Проверка качества прогнозирования возможна в случае наличия достаточной выборки и является важной проверкой на достоверность прогноза, для проверки и оптимизации значений α, β и γ необходимо построить прогноз на существующие данные, например, если у нас в наличии данные за пять лет и мы хотим предсказать следующий год, то необходимо построить модель на первых четырёх годах, проверить и оптимизировать коэффициенты для минимизации ошибки между прогнозом и данными на 5й год. После оптимизации модель может быть перестроена с учётом последнего периода для повышения точности, далее следует построение прогноза.

Методы оптимизации будут описаны в отдельной статье, ниже представлен пример прогнозирования методом Хольт Винтерса.

Методы анализа и прогнозирования временных рядов

• 18 недель

3 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

О курсе

Целью курса является формирование умений по применению научно-обоснованной комплексной методологии анализа и прогнозирования временных рядов на основе методов статистического анализа, моделирования и прогнозирования информации, с учетом отечественного и зарубежного опыта по использованию подобных подходов на практике.

В курсе также описываются новые методы и подходы к обработке информации, являющиеся адаптивными, как по характеру их применения, так и по способу установления характеристик компонент временных рядов.

Формат

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций, изучение текстовых материалов с примерами, иллюстрирующими теоретические положения, выполнение тестовых заданий с анализом ответов и с рекомендациями обучающимся, а также выполнение учебных и контрольных заданий, в которых будет использоваться стандартное приложение для построения и анализа электронных схем.

Предусмотрено промежуточное контрольное тестирование по каждому разделу курса и итоговое контрольное тестирование по всему содержанию курса.

Информационные ресурсы

1. Сафиуллин Н.Т. Разработка методики анализа временных рядов с помощью преобразования Хуанга-Гильберта: дисс. на соискание степени к.т.н. – 2015
2. Голяндина Н.Э. Метод «Гусеница»-SSA: анализ временных рядов: Учеб. пособие. – СПб. – 2004
3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 2007
4. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. – М.: «Футурис», 2009
5. Мишулина О.А. Статистический анализ и обработка временных рядов. – М.: МИФИ, 2008

Требования

Базовая подготовка по направлению «Информационные системы и технологии

Программа курса

1. Базовые понятия теории временных рядов

1.1. Понятие временных рядов и их типовые модели

1.2. Основные характеристики временных рядов

1.3. Выявление свойств и типов временных рядов на основе статистического и спектрального анализа

2. Анализ временных рядов

2.1. Разбиение временных рядов на компоненты

2.2. Типовые виды главных компонент, на основе моделей авторегрессии

2.3. Адаптивный анализ временных рядов и их частотно-временные характеристики

3. Прогноз временных рядов

3.1. Прогнозирование трендовой составляющей временного ряда

3.2. Прогнозирование временных рядов на основе моделей авторегрессии

3.3. Адаптивный прогноз и методы коррекции

Результаты обучения

В результате освоения курса слушатель будет способен:

• анализировать особенности исходных данных, выбирать адекватные методы решения задач анализа данных;
• проводить научные исследования в области методов адаптивного анализа данных;
• разрабатывать методы и способы решения нестандартных задач в области адаптивного анализа данных.

Формируемые компетенции

Результатом обучения в рамках дисциплины является формирование у студента следующих компетенций:

• способностью совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и общекультурный уровень (ОК-1);
• способность анализировать профессиональную информацию, выделять в ней главное, структурировать, оформлять и представлять в виде аналитических обзоров с обоснованными выводами и рекомендациями (ОПК-6);
• умением разрабатывать стратегии проектирования, определением целей проектирования, критериев эффективности, ограничений применимости (ПК-1);
• способностью к самостоятельному обучению новым методам исследования, к изменению научного и научно-производственного профиля своей профессиональной деятельности (ОК-2);
• способностью осуществлять сбор, анализ научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по тематике исследования (ПК-7);
• умением проводить разработку и исследование теоретических и экспериментальных моделей объектов профессиональной деятельности в областях наука, техника (ПК-8);
• способностью разрабатывать методы решения нестандартных задач и новые методы решения традиционных задач (ПК-15).